CONCEITO DE FUNÇÕES

INTRODUÇÃO

Queremos estabelecer um exemplo motivacional para o estudo de funções, e nada melhor que estudar a relação existente entre as grandezas espaço e tempo. Queremos concluir que o espaço percorrido pode ser obtido como função do tempo gasto por um atleta, conforme descrito abaixo. 

Exemplo: Numa esteira ergométrica, um atleta treina com uma velocidade constante para uma maratona. Seu treinador observa, a cada 10 minutos, o espaço percorrido e anota em uma tabela seu desempenho. Observe:

Instante (minutos)	Distância (m)
10	1 500
20	3 000
30	4 500
40	6 000
50	7 500
60	9 000

A cada instante (x), em minutos, corresponde a uma única distância (y), em metros. Dizemos então que a distância percorrida pelo atleta encontra-se em função do instante de tempo gasto em seu treinamento. Como a cada 10 minutos são percorridos 1500 metros; a cada minuto, 150 metros são percorridos, assim a fórmula que relaciona espaço e tempo pode ser descrita por y = 150x.

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x∈A, um único elemento y∈B. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f).

Vejamos um exemplo através da representação por diagramas, onde podemos observar a definição descrita:

Representação por diagramas:

Cada elemento do conjunto A (domínio da função) está relacionado a um, e somente um, elemento do conjunto B (contradomínio da função). Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos elementos de A, ou seja, a imagem de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e imagem de 0 é 0. Podemos perceber, nesse caso, que a imagem de cada elemento do conjunto A equivale ao quadrado do seu valor. Logo, podemos concluir que a lei de formação dessa função pode ser definida por f(x) = x². 

            Dom (f) = {-3,-2,-1,0}
            CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
            IM (f) = {0,1,4,9}

Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?

a)

b)

c)

     

d)

De acordo com a definição de função apresentada anteriormente, os gráficos que representam funções são as letras: a e c. Consequentemente, os que não representam são as letras b e d, pois no item b o elemento 0 do conjunto A não se relacionou com nenhum elemento do conjunto B, contrariando a definição de função. Já na letra D, o elemento 4 do conjunto A se conectou com dois elementos do conjunto B, o que também não pode.

Observação: o que podemos concluir, caros alunos? Que cada elemento do conjunto A deve mandar uma e somente uma flecha para o conjunto B para a relação se tornar uma função. Jamais um elemento do conjunto A pode mandar 2 flechas ou deixar de mandar.

Exemplo: vamos entender melhor o que significa o domínio D e a imagem Im observando o gráfico abaixo:

De acordo com que falamos acima, quando queremos saber sobre o domínio, devemos olhar para o eixo x e, quando falamos em imagem, devemos olhar pata o eixo y. Desse modo todos os valores utilizados sobre o eixo x representam o maior domínio dessa função, ou seja, D=[0,4] e todos ou valores utilizados sobre o eixo y representam a imagem, o que podemos concluir Im=[0,2]                                                                                                    

Exemplo: vamos determinar o maior domínio das funções abaixo:

1º) f(x) = 3x

Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero. Nesse caso, temos que ter x≠0 para que 2x seja possível em IR  

Lodo o domínio são os reais não nulos.

2º) f(x) = x−4−−−−−√ 

Sabemos que no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo.

Portanto, temos que ter x−4≥0 para que seja possível em IR

Daí, x−4≥0⟺x≥4

Logo, D(f) = [4, + ∞[

3º) f(x) = 1−x√x−2√ 

Nesse caso, devemos ter:

(I) 7−x≥0⟺−x≥−7⟺x≤7
(II) x−2>0⟺x>2

Ou seja, x∈ ]2, 7]. Para cada x∈ ]2, 7], f(x) existe e é único. 

Logo, D(f) = ]2, 7].

Vamos observar agora mais um exemplo cotidiano onde a função se faz presente:

Uma barraca de praia, em Salvador, vende picolés ao preço de R$ 1,75 a unidade. Para não precisar fazer contas a todo momento, o proprietário da barraca montou a seguinte tabela:

Número de picolés	Preço (R$)
1	1,75
2	3,50
3	5,25
4	7,00
5	8,75
6	10,50
7	12,25
8	14,00

Note que o número de picolés é o domínio da função, e o preço correspondente à quantidade de picolés, o contradomínio. Logo, podemos observar que: 

            Dom (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}

            CD (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}

            Im (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}

            Como todos os elementos do contradomínio são imagens, podemos concluir que o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio. 

            Sendo assim, é possível observar facilmente a lei de formação dessa função. O total (y) a ser pago será R$ 1,75 multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, podemos concluir que y = 1,75.x.

Observação:

Seja f : R → R uma função. Tal representação pode ser descrita por D → CD onde D são os elementos do domínio e CD elementos do contradomínio. Sendo I o conjunto imagem, podemos dizer que I é subconjunto de CD, ou seja, I⊂CD. 

Classificação de uma função:

As funções podem ser classificadas em injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou bijetiva. Uma função é:

- Injetora ou injetiva quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2);

• Exemplo:
• 

                    

- Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, possuem os mesmos elementos;

Exemplo:

Funções (Foto: Colégio Qi)

- Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. 

Exemplo:

Funções (Foto: Colégio Qi)